dạng lượng giác của số phức

1. Định nghĩa Acgumen của số phức

Bạn đang xem: dạng lượng giác của số phức

• Cho số phức z≠0. Với M là vấn đề nhập mặt mũi bằng phức màn trình diễn số z. Một acgumen của z được hiểu là số đo (rađian) của từng góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM.

• Như vậy nếu như j là 1 acgumen của z thì từng acgumen đều phải có dạng: $\psi +2k\pi ,k\epsilon Z$

2. Dạng lượng giác của số phức

2.1 Định nghĩa

Dạng z= r(cosφ+isinφ), nhập bại liệt r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z≠0. Còn dạng z=a+bi (a, b∈R) được gọi là dạng đại số của số phức z.

Trong đó: 

• r: là tế bào đun của số phức

• φ: là acgumen của số phức

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Biến thay đổi những số phức quý phái trên đây quý phái dạng lượng giác: 

a. $z_{1}=6+6i$

b. $z_{1}=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$

c. $z_{1}=\frac{5\sqrt{3}}{4}+\frac{5}{2}i$

Lời giải:

Ví dụ 2: Xác ấn định phần thực và phần ảo của những số phức sau: 

a, $\frac{\left ( 1-i \right )^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$

b, $\left ( cos\frac{\pi }{3} -isin\frac{\pi }{3}\right )i^{-5}(i+\sqrt{3}i)^{7}$

Lời giải: 

2.2. Nhận xét

Để lần dạng lượng giác r (cosφ+i sinφ) của số phức z=a+bi (a,b∈R) không giống 0 cho tới trước, tao cần: 

1) Tìm r: này đó là mô-đun của z, r=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$; số r này cũng là khoảng cách kể từ gốc O tới điểm M màn trình diễn số z nhập mặt mũi bằng phức.

2) Tìm φ: bại liệt là 1 trong những acgumen của z; φ là số thực sao cho tới cosφ= ar và sinφ=br; số φ này cũng là số đo 1 góc lượng giác của tia đầu Ox, tia cuối OM.

2.3. Chú ý 

1, |z|=1 Lúc và chỉ Lúc z=cosφ+isinφ (φ∈R).  

2, Khi z = 0 thì |z|=r=0 tuy nhiên acgumen của x ko xác lập (acgumen của 0 là số thực tùy ý). 

3, Cần nhằm ý r>0 nhập dạng lượng giác r(cosφ+isinφ) của số phức z≠0.

Nắm hoàn hảo kiến thức và kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài xích luyện với cỗ tư liệu độc quyền của VUIHOC ngay

3. Bài luyện nhân phân chia số phức bên dưới dạng lượng giác

3.1. Định lý

Nếu: z=r(cosφ+isinφ)

        z′=r′(cosφ′+isinφ′)(r⩾0,r′⩾0)

Thì: zz′=rr′[cos(φ+φ′)+isin(φ+φ′)

       zz'=rr'[cos(φ′−φ)+isin(φ′−φ)] (khi r>0)

3.2. Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Biến thay đổi số phức sau quý phái dạng lượng giác: z = $\left ( 1-i\sqrt{3} \right ).\left ( 1+i \right )$

Lời giải:

Có: $1-i\sqrt{3}=2.\left [ cos(-\frac{\pi }{3})+isin(-\frac{\pi }{3}) \right ]$

$1+i=\sqrt{2}\left [ cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4} \right ]$

Áp dụng công thức nhân, phân chia số phức tao được:

z=$(1-i\sqrt{3})(1+i)=2\sqrt{2}\left [ cos(-\frac{\pi }{2})+isin(-\frac{\pi }{2})\right]$

Ví dụ 2: Biến thay đổi số phức sau bên dưới dạng: z= $\frac{1-i}{(\sqrt{3}+i)(2+2i)}$

Lời giải:

$\sqrt{3}+i=2(cos\frac{\pi }{6}+isin\frac{\pi }{6})$

2 + 2i =$2\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$

=> $\left ( \sqrt{3}+1\right )(2+2i)=4\sqrt{2}(cos\frac{5\pi }{12}+isin\frac{5\pi }{12})$

Lại có: 1- i =$\sqrt{2}(cos\left ( -\frac{\pi }{4} \right )+isin(-\frac{\pi }{4}))$

Suy ra: z=$\frac{1-i}{(\sqrt{3}+i)(2+2i)}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}.\left [ cos(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12})+isin(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12}) \right ]+isin(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12})$

=$\frac{1}{4}\left [ cos(-\frac{2\pi }{3})+isin(-\frac{2\pi }{3})\right ]$

4. Công thức Moivre và ứng dụng

4.1. Công thức Moivre

Với từng n∈N* tao có:

$\left [ r(cos\varphi  )+isin\varphi\right ]^{n}=r^{n}(cos\varphi  +isin\varphi )$

Khi r=1 ta có: 

(cosφ+i sin φ)n=cos nφ+isin nφ

Hai công thức này được gọi là công thức Moivre

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Biến thay đổi số phức sau quý phái dạng lượng giác: z=$(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{10}$

Lời giải:

$\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2.(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$

Do đó: z=$(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{10}=\left [ 2.(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4}) \right ]^{10}$

=$2^{10}(cos\frac{10\pi }{4}+isin\frac{10\pi }{4})=2^{10}(cos\frac{5\pi }{2}+isin\frac{5\pi }{2})$

Ví dụ 2: Biến thay đổi số phức sau quý phái dạng lượng giác: z=$\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho số phức sau: z=$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}i^{5})(1+\sqrt{3}i)^{7}$. Tìm phần ảo của số phức.

Lời giải: 

Ta có: $1+\sqrt{3}i=2.(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}) $ và $i^{4}=1$

$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3})i^{5}(1+\sqrt{3}i)^{7}$

=$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}).i.\left [ 2(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}) \right ]^{7}$

=$2^{7}(cos(-\frac{\pi }{3}+isin(-\frac{\pi }{3})).i(cos\frac{7\pi }{3}+isin\frac{7\pi }{3})$

=$2^{7}\left [ cos2\pi +isin2\pi  \right ]i=2^{7}i$

Vậy phần ảo vì như thế $2^{7}$=128

4.2. Ứng dụng nhập lượng giác

Ta đem công thức khai triển lũy quá bậc 3 của nhị thức cosφ+isinφ cho tới ta:

$(cos\varphi +isin\varphi )^{3}=cos^{3}\varphi -3cos\varphi sin^{2}\varphi +i(3cos^{2}\varphi sin\varphi -sin^{3}\varphi )$

Mặt không giống theo đòi công thức Moivre:

$(cos\varphi +isin\varphi )^{3}=cos3\varphi =isin3\varphi $

Từ bại liệt suy ra:

$cos3\varphi =cos^{3}\varphi -3cos\varphi sin^{2}\varphi =4cos^{3}\varphi -3cos\varphi $

$sin3\varphi =3cos^{2}\varphi sin\varphi -sin^{3}\varphi =3sin\varphi -4sin^{3}\varphi $

Tương tự động, bằng phương pháp so sánh công thức khai triển lũy quá bậc n của nhị thức cosφ+i sinφ với công thức Moivre, tao hoàn toàn có thể màn trình diễn cos nφ và sin nφ theo đòi những lũy quá của cosφ và sinφ. 

4.3. Căn bậc nhì của số phức dạng lượng giác

Từ công thức Moivre, thường thấy số phức z=r(cosφ+isinφ),r>0 đem 2 căn bậc nhì là:

$\sqrt{r}(cos\frac{\varphi }{2}+isin\frac{\varphi }{2})$ và $-\sqrt{r}(cos\frac{\varphi }{2}+isin\frac{\varphi }{2})=\sqrt{r}(cos(\frac{\varphi }{2}+\pi )+isin(\frac{\varphi }{2}+\pi ))$

Ví dụ 1: Căn bậc nhì của số phức z = 5 + 12i là thành phẩm này sau đây?

A. $z_{0}=3+2i,z_{1}=3-2i$

B. $z_{0}=3-2i,z_{1}=-3+2i$

C. $z_{0}=2-3i,z_{1}=-2+3i$

D. Một thành phẩm khác 

Lời giải: 

Gọi v=x+iy là căn bậc nhì của z, tao có:

$v^{2}=z\Leftrightarrow (x+iy)^{2}=5+12i$
$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xy=5+12y$

Vậy z=5+12i đem căn bậc nhì là $z_{0}=3+2i$, $z_{1}=-3-2i$

=> Chọn A

Ví dụ 2: Căn bậc nhì của số phức 4 + 65i là: 

Xem thêm: vinyl fomat + naoh

Lời giải: 

Giả sử v là 1 căn bậc nhì của $4+6\sqrt{5}i$. Ta có:

$v^{2}=4+6\sqrt{5}i\Leftrightarrow w^{2}=(3+\sqrt{5}i)^{2}\Leftrightarrow w=\pm (3+\sqrt{5})i$

Đăng ký tức thì và để được thầy cô tổ hợp kiến thức và kỹ năng và xây cất suốt thời gian ôn đua thích hợp, đạt hiểu trái khoáy đảm bảo chất lượng nhất!

5. Một số dạng lượng giác của số phức thông thường bắt gặp và ví dụ minh hoạ

5.1. Dạng 1: Chuyển số phức về dạng lượng giác

Cho số phức: z=a+bi, viết lách z bên dưới dạng z=r(cosφ+isinφ)

• Phương pháp: 

Bước 1: Tính r=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Bước 2: Tính φ vừa lòng $cos\varphi =\frac{a}{r},sin\varphi =\frac{b}{r}$ 

• Lưu ý:

Ví dụ 1: Biến thay đổi những số phức sau quý phái dạng lượng giác:

a, 5

b, -7

c, 6i

d, -10i 

Lời giải:

a, 5 = 5(1+0i) = 5(cos0+i sin0)

b, -7 = 7(-1+0i) = 7(cos$\pi $+sin$\pi $i)

c, 6i=6(0+i)=6(cos$\frac{\pi }{2}$+isin$\frac{\pi }{2}$)

d, -10i=10(0-i)=10(cos$-\frac{\pi }{2}$+isin$-\frac{\pi }{2}$)

Ví dụ 2: Biến thay đổi những số phức sau quý phái dạng lượng giác:

a, $(1+3i)(i+2i)$

b, $(1+i)\left [ 1+(\sqrt{3}-2) i\right ]$

c, $(\sqrt{2}-2i)\left [ \sqrt{2} +(3\sqrt{2}-4)i\right ]$

Lời giải:

Ví dụ 3: Biến thay đổi những số phức sau quý phái dạng lượng giác:

a, $1+\frac{i}{\sqrt{3}}$

b, $1+\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})i$

Lời giải: 

Ví dụ 4: Biến thay đổi những số phức sau quý phái dạng lượng giác:

a, $\frac{1}{2+2i}$

b, $\frac{3-i}{1-2i}$

c, $\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}$

Lời giải: 

5.2. Dạng 2: Tính độ quý hiếm, rút gọn gàng biểu thức

Phương pháp: 

Sử dụng những luật lệ toán nằm trong, trừ, nhân, phân chia số phức, công thức Moivre nhằm tính độ quý hiếm và rút gọn gàng biểu thức.

Ví dụ 1: Tính số phức sau: z=$\frac{(1-i)^{10}(\sqrt{3}+1)^{5}}{(-1-i\sqrt{3})^{10}}$

Lời giải: 

Vdụ 2: Giải phương trình: $z^{5}+z^{4}+x^{3}+x^{2}+z+1=0 (1)$

Lời giải: 

(1) <=> $z^{4}(z+1)+z^{2}(z+1)+(z+1)=0$

<=>  $(z+1)(z^{4}+z^{2}+1)=0$

<=> z= -1 hoặc $(z^{4}+z^{2}+1)=0$

Xét phương trình:

Tóm lại, phương trình đem toàn bộ 5 nghiệm: $z=-1,z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

6. Một số bài xích luyện dạng lượng giác của số phức và cách thức giải

Ví dụ 1: Biến thay đổi những số phức sau quý phái dạng lượng giác: 

a, $(1-i)(1+i)$

b, $\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}$ 

c, $\frac{1}{2+2i}$

Lời giải: 

Ví dụ 2: Xác ấn định phần thực và phần ảo của từng số phức sau: 

a, $\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$

b, $(cos\frac{\pi }{6}-isin\frac{\pi }{6})i^{-5}(1+\sqrt{3}i)^{7}$

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho số phức: z =$1-cos\frac{\pi }{8}+i.sin\frac{\pi }{8}$. Tính $z^{1012}$

Ví dụ 4: Gọi S là tụ hội những số nguyên vẹn n và $n\epsilon \left [ 1;10 \right ]$ sao cho tới số phức $z=(1+i\sqrt{3})^{n}$ là số thực. Số thành phần của luyện S là? 

Lời giải: 

Ta có: $1+i\sqrt{3}=2(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3})$

z=$2^{n}(cos\frac{n\pi }{3}+isin\frac{n\pi }{3})$

Để $z\epsilon \Rightarrow 2^{n}sin\frac{\pi }{3}=0\Rightarrow sin\frac{\pi }{3}=0$

 ⇒ n phân chia không còn cho tới 3 và n nguyên vẹn dương $n\epsilon \left [ 1;10 \right ]$

⇒ $n\epsilon \left \{ 3;6;9 \right \}$

Tập S đem phụ thân phần tử

Ví dụ 5: Tìm số phức z sao cho tới $z^{5},\frac{1}{z^{2}}$ là nhì số phức liên hợp?

Lời giải:

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng lượng giác của số phức. Để đạt được thành phẩm cực tốt những em cần thiết thực hiện thêm thắt nhiều loại bài xích luyện không giống. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài xích luyện kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện và đào tạo nhằm học tập và ôn luyện nhiều hơn thế những phần kiến thức và kỹ năng lớp 12 đáp ứng ôn đua trung học phổ thông QG tức thì kể từ thời điểm ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm: Lý thuyết số phức và cơ hội giải những dạng bài xích luyện cơ bản

Xem thêm: ch3cooh nacl