Đường tròn

Trong hình học tập bằng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là tụ họp của toàn bộ những điểm bên trên một phía bằng, cơ hội đều một điểm mang lại trước vày một khoảng cách nào là cơ. Điểm mang lại trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng chừng mang lại trước gọi là bán kính của đường tròn.

Bạn đang xem: đường tròn

Đường tròn trặn tâm O nửa đường kính R ký hiệu là (O;R)

Đường tròn trặn là 1 trong hình kín giản dị và đơn giản phân tách mặt mày bằng rời khỏi thực hiện 2 phần: phần hông vô và phần phía bên ngoài. Trong khi "đường tròn" ranh giới của hình, "hình tròn" bao hàm cả ranh giới và phần hông vô.

Đường tròn trặn cũng rất được khái niệm là 1 trong hình elíp quan trọng với nhì chi điểm trùng nhau và tâm sai vày 0. Đường tròn trặn cũng chính là hình xung quanh nhiều diện tích S nhất bên trên từng đơn vị chức năng chu vi bình phương.

Một số thuật ngữ[sửa | sửa mã nguồn]

Cung: một quãng đóng góp bất kì bên trên đường tròn. Cung AB ký hiệu là
Dây cung (gọi tắt là dây): đoạn trực tiếp đem 2 đầu mút phía trên đường tròn.
Tâm: điểm cơ hội đều toàn bộ những điểm bên trên đường tròn.
Chu vi hình tròn: chừng nhiều năm đường biên giới số lượng giới hạn hình tròn trụ.
Bán kính: là đoạn trực tiếp (hoặc chừng nhiều năm đoạn thẳng) nối tâm với cùng một điểm bất kì bên trên đường tròn và vày 1/2 2 lần bán kính.
Đường kính: đoạn trực tiếp (hoặc chừng nhiều năm đoạn thẳng) đem 2 đầu mút phía trên đường tròn và là chão cung trải qua tâm, hoặc khoảng cách nhiều năm nhất thân thuộc 2 điểm bên trên đường tròn. Đường kính là chão cung nhiều năm nhất của đường tròn và vày gấp đôi nửa đường kính.
Cát tuyến: đường thẳng liền mạch bên trên mặt mày bằng hạn chế đường tròn bên trên 2 điểm.
Tiếp tuyến: đường thẳng liền mạch xúc tiếp với đường tròn bên trên một điểm có một không hai.
Hình tròn: phần mặt mày bằng số lượng giới hạn vày đường tròn.
Hình khuyên răn (hình nhẫn hoặc hình khoanh khăn): vùng bị số lượng giới hạn vày 2 đường tròn đồng tâm và đem nửa đường kính không giống nhau.
Hình quạt tròn: phần hình tròn giới hạn vày hai bán kính và cung tròn bị chắn vày nhì nửa đường kính này.
Hình viên phân: phần bị số lượng giới hạn vày cung tròn trặn và chão căng cung.
Hình buôn bán nguyệt: cung căng 2 lần bán kính. Thông thông thường, thuật ngữ này còn bao hàm 2 lần bán kính, cung căng 2 lần bán kính và phần hông vô, tức nửa hình tròn trụ.
Đường tròn trặn nước ngoài tiếp nhiều giác là đường tròn trải qua toàn bộ những đỉnh của nhiều giác cơ. Khi cơ gọi là nhiều giác nội tiếp đường tròn
Đường tròn trặn nội tiếp nhiều giác là đường tròn xúc tiếp với toàn bộ những cạnh của nhiều giác cơ. Khi cơ gọi là nhiều giác nước ngoài tiếp đường tròn

Sự xác lập đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Một đường tròn được xác lập lúc biết tâm và nửa đường kính của chính nó, hoặc lúc biết một quãng trực tiếp là 2 lần bán kính của chính nó.

Qua 3 điểm ko trực tiếp mặt hàng, tao rất có thể vẽ được một và có một đường tròn.

Hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hình học tập bằng, đường tròn và hình tròn trụ là nhì định nghĩa không giống nhau. Hình tròn trặn là tụ họp toàn bộ những điểm nằm trong và phía trên đường tròn hoặc tụ họp những điểm cơ hội tâm một khoảng chừng nhỏ rộng lớn hoặc vày nửa đường kính. Đường tròn trặn không tồn tại diện tích S như hình tròn trụ.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Từ circle đem xuất xứ kể từ giờ đồng hồ Hy Lap κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), tức thị "vòng" hoặc "nhẫn".^[1]

Đường tròn trặn trong mỗi bạn dạng vẽ thiên văn Ả Rập cổ.

Đường tròn trặn và được biết tới từ trước lúc lịch sử hào hùng ghi cảm nhận được. Những hình tròn trụ vô ngẫu nhiên hẳn và được để ý, ví như Mặt Trăng, Mặt Trời... Đường tròn trặn là nền tảng nhằm trở nên tân tiến bánh xe pháo, nhưng mà cùng theo với những phát minh sáng tạo tương tự động như bánh răng, là bộ phận cần thiết vô công cụ văn minh. Trong toán học tập, việc nghiên cứu và phân tích đường tròn đang được dẫn tới sự trở nên tân tiến của hình học tập, thiên văn học tập và vi tích phân.

Khoa học tập nguyên sơ, nhất là hình học tập, thiên văn học tập và chiêm tinh ranh học tập, thông thường được không ít học tập fake thời trung thế kỉ liên kết với thánh thần, và nhiều người tin yêu rằng đem gì cơ "thiêng liêng" và "hoàn hảo" ở hình tròn trụ.^[2]^[3]

Một số vệt mốc vô lịch sử hào hùng đường tròn:

Năm 1700 trước Công nguyên– Bản giấy tờ cói Rhind thể hiện cách thức nhằm tính diện tích S hình tròn trụ. Kết ngược tương tự với 256/81 (3.16049...) như 1 độ quý hiếm xấp xỉ của π.^[4]
Năm 300 trước Công nguyên vẹn – Quyển 1, Quyển 3 của cuốn sách Cơ sở của Euclid thể hiện khái niệm và bàn về những đặc thù của đường tròn.
Trong Bức thư loại bảy của Plato mang 1 khái niệm cụ thể và lý giải về đường tròn. Plato viết lách về một đường tròn tuyệt đối, và sự khác lạ của chính nó với bất kì hình vẽ, lý giải hoặc khái niệm nào là không giống.
Năm 1880 – Lindemann minh chứng được π là số siêu việt, giải quyết và xử lý hoàn hảo vẹn việc cầu phương hình tròn trụ sau rộng lớn một thiên niên kỷ.^[5]

Đặc điểm[sửa | sửa mã nguồn]

Độ nhiều năm đường tròn (chu vi hình tròn)[sửa | sửa mã nguồn]

Tỉ số của chừng nhiều năm đường tròn với 2 lần bán kính của chính nó là π (pi), một hằng số vô tỉ có mức giá trị xấp xỉ vày 3.141592654, vậy chu vi của hình tròn trụ (còn được gọi là viên chu), là chừng nhiều năm của đường tròn, vày tích của pi với 2 lần bán kính hoặc gấp đôi pi nhân với nửa đường kính. Công thức:

Diện tích bao kín[sửa | sửa mã nguồn]

Trong bạn dạng luận Sự đo lường của một hình tròn trụ của Archimedes, diện tích S hình tròn trụ A vày diện tích S của tam giác đem cạnh lòng vày chu vi đường tròn và đàng cao vày nửa đường kính hình tròn trụ,^[6] tức A vày π nhân mang lại bình phương buôn bán kính:

Tương tự động, ký hiệu 2 lần bán kính là d,

tức khoảng chừng 79% diện tích S hình vuông vắn nước ngoài tiếp đường tròn (với chừng nhiều năm cạnh là d). Đường tròn trặn cũng chính là hình bằng bao kín nhiều diện tích S nhất với chu vi mang lại trước.

Phương trình[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ tọa chừng Descartes[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa chừng Descartes, vòng tròn trặn đem tâm bên trên (a, b) và nửa đường kính r là tụ họp toàn bộ những điểm (x, y) thỏa mãn:

Phương trình này, được biết là Phương trình đường tròn, khởi đầu từ Định lý Pytago vận dụng cho 1 điểm bên trên đường tròn: Như vô hình mặt mày, nửa đường kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông |x − a| và |y − b|. Nếu tâm đường tròn nằm tại gốc tọa chừng (0, 0), thì phương trình được thu gọn gàng thành:

Phương trình rất có thể viết lách bên dưới dạng thông số dùng những nồng độ giác sin và cosine như sau

với t là thông số trong tầm kể từ 0 cho tới 2π, một cơ hội hình học tập, t tương tự với góc tạo nên vày tia trải qua (a, b), (x, y) và trục x dương.

Một phương trình thông số không giống của đường tròn là:

Tuy nhiên ở sự thông số hóa này, t không những chạy qua loa toàn bộ số thực mà còn phải chạy cho tới vô hạn, nếu như không thì điểm bên dưới nằm trong của đường tròn sẽ không còn được thể hiện tại.

Trong hệ tọa chừng hệt nhau, từng đàng conic với phương trình của đường tròn đem dạng:

Hệ tọa chừng cực[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa chừng rất rất phương trình của một đường tròn là:

với a là nửa đường kính của đường tròn, là tọa chừng rất rất của một điểm bên trên đường tròn, và là tọa chừng rất rất của tâm đường tròn (tức r₀ là khoảng cách kể từ gốc tọa chừng cho tới tâm, và φ góc trái hướng kim đồng hồ đeo tay kể từ trục hoành đường thẳng liền mạch trải qua tâm và gốc tọa độ). Với đường tròn đem tâm ở gốc tọa chừng, tức r₀ = 0, thì được giản dị và đơn giản hóa còn r = a. Khi r₀ = a, hoặc gốc tọa chừng phía trên đường tròn thì phương trình trở thành:

Trong tình huống tổng quát lác, tao rất có thể giải phương trình mang lại r

Chú ý rằng nếu như không tồn tại vệt ±, vô một trong những tình huống phương trình chỉ tế bào miêu tả nửa đường tròn.

Mặt bằng phức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt mày bằng phức, một đường tròn đem tâm bên trên c và nửa đường kính (r) đem phương trình . Tại dạng thông số hóa: .

Phương trình tổng quát lác cho những số thực p, q và số phức g đôi lúc được gọi là đường tròn tổng quát lác. Phương trình này phát triển thành phương trình phía trên với , vì như thế . Không nên đường tròn tổng quát lác nào thì cũng là đường tròn thực sự: đường tròn tổng quát lác hoặc là đường tròn thực sự hoặc là 1 trong đường thẳng liền mạch.

Đường tiếp tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tiếp tuyến qua loa một điểm P bên trên đường tròn vuông góc 2 lần bán kính trải qua P. Nếu P = (x₁, y₁) và đường tròn đem tâm (a, b) và nửa đường kính r, thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng liền mạch trải qua (a, b) và (x₁, y₁), nên nó đem dạng (x₁ − a)x + (y₁ – b)y = c. Tính với (x₁, y₁) xác lập độ quý hiếm của c và thành phẩm phương trình của đàng tiếp tuyến là:

hay

Nếu y₁ ≠ b thì chừng dốc của đường thẳng liền mạch là

Kết ngược này cũng rất có thể được suy rời khỏi dùng đạo hàm hàm ẩn.

Xem thêm: na2co3 +cacl2

Nếu tâm đường tròn nằm tại gốc tọa chừng thì phương trình tiếp tuyến là và chừng dốc của chính nó là

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Tính hóa học chung[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn trặn là hình đem diện tích S lớn số 1 với chu vi mang lại trước. (Xem Bất đẳng thức đẳng chu)
Đường tròn trặn đem tính đối xứng cao: tâm của đường tròn là tâm đối xứng và những 2 lần bán kính là những trục đối xứng
Mọi đường tròn đều đồng dạng.
- Chu vi đường tròn tỉ lệ thành phần thuận với nửa đường kính theo dõi hằng số 2π.
- Diện tích hình tròn trụ tỉ lệ thành phần thuận với bình phương nửa đường kính theo dõi hằng số π.
Đường tròn trặn đem tâm bên trên gốc tọa chừng và nửa đường kính là một trong những gọi là đường tròn đơn vị chức năng.
- Đường tròn rộng lớn của hình cầu đơn vị chức năng là đường tròn Riemann.
Tập thích hợp toàn bộ những điểm nom đoạn trực tiếp bên dưới 1 góc vuông là đường tròn đem 2 lần bán kính là đoạn trực tiếp đó

Dây cung[sửa | sửa mã nguồn]

Dây cung cơ hội đều tâm khi và chỉ khi bọn chúng nhiều năm cân nhau.
Trong và một đường tròn, chão càng nhiều năm thì sẽ càng ngay sát tâm.
Đường kính vuông góc với chão cung bên trên trung điểm của chão cung đó
Đường kính trải qua trung điểm của một chão ko trải qua tâm thì vuông góc với chão.
Đường kính là chão cung nhiều năm nhất vô đường tròn
Nếu giao phó điểm nhì chão cung hạn chế nhau chia một chão trở nên nhì đoạn a và b, phân tách chão cung cơ thành c và d, thì ab = cd (gọi là phương tích của điểm đó).
Nếu giao phó điểm nhì chão cung hạn chế nhau chia một chão trở nên nhì đoạn a và b, phân tách chão cung cơ thành m và n, thì a² + b² + m² + n² = d² (với d là đàng kính).
Tổng bình phương chiều nhiều năm 2 chão cung vuông góc bên trên một điểm thắt chặt và cố định ko thay đổi và vày 8r² – 4p² (với r là nửa đường kính đường tròn, p là khoảng cách kể từ tâm đường tròn cho tới giao phó điểm đó).
Khoảng cơ hội từ là một điểm bên trên đường tròn cho tới một chão nô tỳ với 2 lần bán kính vày tích của khoảng cách điểm cơ cho tới 2 đầu mút của chão cung.
2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn cân nhau căng 2 chão cân nhau thì 2 cung cơ cân nhau và ngược lại
Với 2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn cân nhau, cung nào là căng chão rộng lớn hơn(hoặc bé bỏng hơn) thì cung cơ rộng lớn hơn(hoặc bé bỏng hơn) và ngược lại.

Tiếp tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

Đường trực tiếp vuông góc với nửa đường kính bên trên đầu mút của nửa đường kính phía trên đường tròn là 1 trong đàng tiếp tuyến với đường tròn.
Đường trực tiếp vuông góc với tiếp tuyến bên trên điểm xúc tiếp với đường tròn thì trải qua tâm.
Từ một điểm ở ngoài đường tròn luôn luôn vẽ được nhì tiếp tuyến với đường tròn.
Nếu hai tiếp tuyến bên trên A và B với đường tròn tâm O cắt nhau bên trên P thì
Nếu AD tiếp xúc với đường tròn tại A và AQ một chão cung của đường tròn, thì .

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý chão cung tuyên bố nếu như nhì chão cung, CD và EB, hạn chế nhau tại A thì AC.AD = AB.AE.
Nếu nhì cát tuyến, AE và AD, hạn chế đường tròn thứu tự tại B và C thì AC.AD = AB.AE. (Hệ ngược của quyết định lý chão cung)
Một tiếp tuyến rất có thể coi như 1 số lượng giới hạn của cát tuyến với đầu mút trùng nhau. Nếu tiếp tuyến kể từ điểm A ở ngoài đường tròn hạn chế đường tròn tại F và một cát tuyến từ A cắt đường tròn thứu tự tại C và D thì AF² = AC.AD. (Định lý tiếp tuyến-cát tuyến)
Góc nằm trong lòng một chão cung và tiếp tuyến bên trên một đầu chão cung vày 1/2 góc ở tâm bị khuất vày chão cung cơ (Tangent Chord Angle).
Nếu góc ở tâm bị khuất vày chão cung là góc vuông thì ℓ = r√2, với ℓ là chừng nhiều năm chão cung và r là nửa đường kính đường tròn.
Nếu nhì cát tuyến hạn chế đường tròn như mặt mày thì góc A bằng nửa hiệu nhì cung tạo nên trở nên (DE và BC), tức , với O là tâm đường tròn. Đây là quyết định lý 2 cát tuyến với đường tròn.

Sagitta[sửa | sửa mã nguồn]

Sagitta (còn được biết là versine) là đoạn trực tiếp vuông góc với chão cung, trải qua trung điểm của chão cung và cung nhưng mà chão cơ chắn.
Cho chừng nhiều năm y của chão và chừng nhiều năm x sagitta, tao rất có thể người sử dụng quyết định lý Pytago nhằm tính nửa đường kính của đường tròn có một không hai vừa phải với 2 đoạn thẳng:

Một minh chứng không giống của thành phẩm này dùng đặc thù nhì chão cung như sau: Cho chão cung có tính nhiều năm y và sagitta có tính nhiều năm x, vì như thế sagitta trải qua trung điểm của chão cung, nó nên là 1 trong phần 2 lần bán kính. Do 2 lần bán kính nhiều năm gấp hai buôn bán kinh, phần "bị thiếu" của 2 lần bán kính có tính nhiều năm (2r − x). Do 1 phần của một chão cung này nhân phần cơ ko thay đổi khi chão xoay quanh giao phó điểm, tao tìm ra . Giải lần r, tao cảm nhận được thành phẩm như bên trên.

Dựng hình[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhiều luật lệ dựng hình vày thước kẻ và compa đã cho ra đường tròn.

Đơn giản và căn bạn dạng nhất là luật lệ dựng hình đang được biết tâm đường tròn và một điểm phía trên đường tròn. Đặt chân trụ của com-pa bên trên tâm, chân xoay lên điểm bên trên đường tròn và xoay com-pa.

Dựng đường tròn với 2 lần bán kính mang lại trước[sửa | sửa mã nguồn]

Dựng trung điểm M của 2 lần bán kính.
Dựng đường tròn với tâm M trải qua một đầu mút của 2 lần bán kính (nó cũng tiếp tục qua loa đầu mút còn lại).

Dựng đường tròn trải qua phụ vương điểm ko trực tiếp hàng[sửa | sửa mã nguồn]

Gọi phụ vương điểm này đó là P, Q và R,
Dựng đàng trung trực của đoạn PQ.
Dựng đàng trung trực của đoạn PR.
Gọi giao phó điểm hai tuyến phố trung trực là M. (Chúng hạn chế nhau vì như thế những điểm ko trực tiếp mặt hàng collinear).
Dựng đường tròn tâm M trải qua một trong những điểm P, Q hoặc R (nó cũng tiếp tục qua loa nhì điểm còn lại).

Dựng tiếp tuyến trải qua một điểm ở ngoài đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ đường tròn 2 lần bán kính AO hạn chế đường tròn O bên trên 2 điểm, khi cơ 2 điểm này đó là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến trải qua điểm A.

Đường tròn trặn của Apollonius[sửa | sửa mã nguồn]

Apollonius của Pergaeus cho rằng đường tròn còn rất có thể khái niệm là tụ họp những điểm bên trên mặt mày bằng đem tỉ số ko thay đổi (khác 1) của khoảng cách cho tới nhì chi điểm, A và B.^[7]^[8] (Nếu tỉ số là một trong những thì tụ họp ấy là đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB.)

Chứng minh bao gồm nhì phần. trước hết tao cần thiết minh chứng, mang lại nhì chi điểm A và B một tỉ số, bất kì điểm P vừa lòng tỉ số nên phía trên một đường tròn chắc chắn. Gọi C là 1 trong điểm vừa lòng tỉ số và phía trên đoạn trực tiếp AB. Từ quyết định lý đàng phân giác suy rời khỏi PC tiếp tục phân tách song góc vô APB:

Tương tự động, đoạn trực tiếp PD qua loa điểm D bên trên đường thẳng liền mạch AB phân tách song góc ngoài BPQ với Q phía trên tia AP kéo dãn dài. Do góc ngoài và góc vô bù nhau, góc CPD nên vày 90 chừng. Tập thích hợp những điểm P sao mang lại góc CPD là góc vuông tạo nên trở nên một đường tròn với CD là 2 lần bán kính.

Thứ nhì, coi ^[9]^:tr.15 nhằm minh chứng rằng những điểm bên trên đường tròn vừa phải tạo nên vừa lòng tỉ số.

Tỉ số kép[sửa | sửa mã nguồn]

Một đặc thù của đường tròn tương quan cho tới hình học tập của tỉ số kép của những điểm bên trên mặt mày bằng phức. Nếu A, B, và C mang lại như bên trên thì đường tròn của Apollonius của phụ vương điểm là tụ họp những điểm P sao mang lại độ quý hiếm vô cùng của tỉ số kép vày 1:

Nói cách thứ hai, P là vấn đề bên trên đường tròn của Apollonius khi và chỉ khi tỉ số kép (A,B;C,P) phía trên đường tròn đơn vị chức năng bên trên mặt mày bằng phức.

Đường tròn trặn tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu C là trung điểm của đoạn AB thì tụ họp những điểm P vừa lòng ĐK Apollonius

không tạo nên trở nên một đường tròn nhưng mà trở nên một đường thẳng liền mạch.

Vậy nên nếu như A, B, C là những điểm phân biệt bên trên mặt mày bằng thì quỹ tích trữ P vừa lòng phương trình bên trên gọi là "đường tròn tổng quát". Nó rất có thể là 1 trong đường tròn hoặc một đường thẳng liền mạch. Trong tình huống này, một đường thẳng liền mạch là 1 trong đường tròn tổng quát lác đem nửa đường kính vô hạn.

Đường tròn trặn nội tiếp hoặc nước ngoài tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong từng tam giác, một đường tròn có một không hai, gọi là đường tròn nội tiếp nế như đó xúc tiếp với phụ vương cạnh tam giác.^[10]

Với từng tam giác một đường tròn có một không hai, gọi là đường tròn nước ngoài tiếp, nế như đó trải qua phụ vương đỉnh của tam giác.^[11]

Một nhiều giác nước ngoài tiếp là 1 trong nhiều giác lồi ngẫu nhiên nhưng mà một đường tròn rất có thể nội tiếp được và xúc tiếp với những cạnh của nhiều giác.^[12] Tất cả nhiều giác đều và tam giác đều là 1 trong nhiều giác nước ngoài tiếp.

Một nhiều giác nội tiếp, ví dụ tứ giác nội tiếp, là 1 trong nhiều giác lồi ngẫu nhiên nhưng mà một đường tròn rất có thể xung quanh, trải qua vớ những cụm đỉnh. Một tình huống được nghiên cứu và phân tích kỹ lưỡng là tứ giác nội tiếp. Tất cả nhiều giác đều và tam giác đều là 1 trong nhiều giác nội tiếp. Một nhiều giác vừa phải nước ngoài tiếp vừa phải nội tiếp được gọi là nhiều giác lưỡng tâm.

Bất kỳ nhiều giác đều nào thì cũng đều sở hữu trúng 1 đường tròn nước ngoài tiếp và đem trúng 1 đường tròn nội tiếp

Một đàng cong hypocycloid là đàng cong nằm trong một đường tròn, vẽ bằng phương pháp theo dõi vệt một điểm thắt chặt và cố định bên trên một đường tròn nhỏ rộng lớn lăn chiêng vô đường tròn đang được mang lại và xúc tiếp với nó..

Vị trí tương đối[sửa | sửa mã nguồn]

Vị trí kha khá thân thuộc đường thẳng liền mạch và đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho đường tròn tâm O nửa đường kính R và đường thẳng liền mạch d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng liền mạch d. Ta đem bảng sau:

Vị trí kha khá thân thuộc đường thẳng liền mạch và đường tròn
Vị trí tương đối	Số điểm chung	So sánh OH với R
Đường trực tiếp hạn chế đường tròn	2	OH < R
Đường trực tiếp xúc tiếp đường tròn	1	OH = R
Đường trực tiếp và đường tròn ko giao phó nhau	0	OH > R

Vị trí kha khá thân thuộc 2 đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho đường tròn tâm O nửa đường kính R và đường tròn tâm I nửa đường kính r. Ta đem bảng sau:


Số điểm chung	Vị trí tương đối		So sánh OI với R và r	Số tiếp tuyến chung
2	2 đường tròn hạn chế nhau		R - r < OI < R + r	2
1	2 đường tròn xúc tiếp nhau	Tiếp xúc ngoài	OI=R+r	3
1	2 đường tròn xúc tiếp nhau	Tiếp xúc trong		1
0	2 đường tròn ko giao phó nhau	(O) và (I) ở ngoài nhau	OI>R+r	4
0	2 đường tròn ko giao phó nhau	(O) đựng (I)		0

Đường tròn trặn bên dưới dạng quan trọng của những hình khác[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn trặn rất có thể coi là 1 trong tình huống số lượng giới hạn của một trong những hình khác:

Một đàng cong Decartes là tụ họp những điểm sao mang lại tổng trọng số của khoảng cách kể từ điểm cơ cho tới nhì điểm thắt chặt và cố định (tiêu điểm) là 1 trong hằng số. Một elíp là tình huống những trọng số cân nhau. Một đường tròn là 1 trong elíp có tính chênh chếch tâm vày 0, tức thị nhì chi điểm trùng nhau tạo nên thành ý đường tròn. Một đường tròn cũng là 1 trong đàng cong Descartes quan trọng với cùng một trọng số vày 0.
Một siêu elíp (hay đàng cong Lamé) đem phương trình dạng với a, b, n dương. Một siêu đường tròn đem b = a. Một đường tròn là tình huống quan trọng của siêu đường tròn với n = 2.
Một đàng oval Cassini là tụ họp những điểm sao mang lại tích khoảng cách kể từ điểm cơ cho tới nhì điểm thắt chặt và cố định là 1 trong hằng số. Khi nhì chi điểm trùng nhau, một đường tròn tạo hình.
Một đàng cong đem chiều rộng lớn ko thay đổi là 1 trong hình đem chiều rộng lớn, khái niệm vày thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp tuy vậy song phân biệt xúc tiếp với hình cơ, không bao giờ thay đổi bất kể vị trí hướng của hai tuyến phố trực tiếp cơ. Đường tròn trặn là ví dụ giản dị và đơn giản nhất mang lại đàng cong này.

Góc với đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Góc ở tâm - số đo cung[sửa | sửa mã nguồn]

2 cạnh của góc ở tâm hạn chế nhau bên trên 2 điểm, phân tách đường tròn trở nên 2 cung:

Góc bẹt là góc ở tâm chắn nửa đường tròn. Số đo của nửa đường tròn là

Khi 2 đầu của cung trùng nhau, tao đem cung không đem số đo và cả đường tròn đem số đo

Trong và một đường tròn hoặc trong những đường tròn cân nhau, 2 cung đem số đo cân nhau thì cân nhau.

Cho điểm C phía trên cung AB và phân tách cung AB trở nên 2 cung là cung AC và cung CB. Khi cơ số đo của cung AB vày tổng số đo cung AC và cung CB.

Góc nội tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Số đo góc nội tiếp vày nửa số đo cung bị chắn
Góc nội tiếp là góc nhọn hoặc góc vuông thì vày nửa góc ở tâm nằm trong chắn cung cơ.
Các góc nội tiếp nằm trong chắn một cung và ở nằm trong phía với chão căng cung cơ thì cân nhau.
Hai góc nội tiếp nằm trong chắn một cung ở không giống phía với chão căng cung cơ thì bù nhau.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (định lý Thales).

Đường tròn trặn tâm O vô hình đem tiếp tuyến bên trên A là đường thẳng liền mạch xy. Ta được 2 góc chắn cung nhỏ AB và chắn cung rộng lớn AB

{\displaystyle {\widehat {xAB}}} — Đường tròn trặn tâm O vô hình đem tiếp tuyến bên trên A là đường thẳng liền mạch xy. Ta được 2 góc chắn cung nhỏ AB và chắn cung rộng lớn AB

Góc thích hợp vày tia tiếp tuyến và chão cung[sửa | sửa mã nguồn]

Góc thân thuộc tia tiếp tuyến và chão cung là góc có một cạnh là chão của đường tròn, cạnh cơ tạo nên vày tia tiếp tuyến của đường tròn và đỉnh là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn.

Số đo của góc thích hợp vày tia tiếp tuyến và chão cung thì vày nửa số đo cung bị khuất.

Góc thích hợp vày tia tiếp tuyến và chão cung thì vày góc nội tiếp nằm trong chắn cung đó

Tính hóa học của góc đem đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Số đo của góc đem đỉnh nằm trong đường tròn vày nửa tổng số đo 2 cung bị khuất.

Góc đem đỉnh ở ngoài đường tròn và chắn bên trên đường tròn cơ 2 cung thì số đo của góc cơ vày nửa hiệu số đo 2 cung bị khuất.

Cầu phương hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cầu phương hình tròn trụ là sự thể hiện vày những căn nhà hình học tập thượng cổ, đòi hỏi dựng một hình vuông vắn đem diện tích S vày diện tích S một hình tròn trụ đang được mang lại vô hữu hạn bước vày thước trực tiếp và com-pa.

Năm 1882, việc được minh chứng là ko thể triển khai được, như 1 hệ ngược của quyết định lý Lindemann–Weierstrass minh chứng rằng pi (π) là một trong những siêu việt, chứ không hề nên là một trong những đại số vô tỉ; tức thị nó ko nên là nghiệm của bất kể nhiều thức với thông số hữu tỉ.

Xem thêm: mg3n2 ra nh3

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ krikos, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
^ Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
^ Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Tập 2, Chương 2, "Of Plato"
^ Chronology for 30000 BC vĩ đại 500 BC. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Truy cập 03-05-2013.
^ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Trụy cập 03-05-2013.
^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (ấn bạn dạng 2), Addison Wesley Longman, tr. 108, ISBN 978-0-321-01618-8
^ Harkness, James (1898). Introduction vĩ đại the theory of analytic functions. London, New York: Macmillan and Co. tr. 30. Bản gốc tàng trữ ngày 7 mon 3 năm 2009. Truy cập ngày trăng tròn mon 12 năm 2017.
^ Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.
^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
^ Incircle – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012-01-21 bên trên Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.
^ Circumcircle – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012-01-20 bên trên Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.
^ Tangential Polygon – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2013-09-03 bên trên Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Đường tròn.

Các chủ thể chủ yếu vô toán học
Nền tảng toán học tập \| Đại số \| Giải tích \| Hình học tập \| Lý thuyết số \| Toán học tập tách rộc rạc \| Toán học tập phần mềm \| Toán học tập vui chơi giải trí \| Toán học tập tô pô \| Xác suất thống kê

đường tròn