Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

Tìm giá chỉ ganh lớn số 1 (GTLN) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa chấp lốt căn, biểu thức chứa chấp lốt độ quý hiếm vô cùng,...) là một trong những trong mỗi dạng toán lớp 9 có tương đối nhiều bài xích kha khá khó khăn và yên cầu kiến thức và kỹ năng áp dụng hoạt bát trong những việc.

Bạn đang xem: giá trị lớn nhất

Bài viết lách này tiếp tục share với những em một trong những cơ hội dò xét giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa chấp lốt căn, chứa chấp lốt độ quý hiếm vô cùng,...) qua chuyện một trong những bài xích tập luyện minh họa rõ ràng.

* Cách dò xét giá trị lớn nhất, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến đổi số)

- Muốn dò xét giá trị lớn nhất hoặc độ quý hiếm nhỏ nhất của một biểu thức tớ hoàn toàn có thể đổi khác biểu thức trở thành dạng: A²(x) + const ;(A biểu thức bám theo x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x² + 2x - 3.

Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)² - 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 ⇒ (x + 1)² - 4 ≥ -4

⇒ A ≥ - 4 lốt vì thế xẩy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: A_min = -4 Lúc và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x² + 6x - 5.

Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x² + 6x - 5 = -x² + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)² + 4 = 4 - (x - 3)²

- Vì (x - 3)² ≥ 0 ⇒ -(x - 3)² ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)² ≤ 4

⇒ A ≤ 4 lốt vì thế xẩy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: A_max = 4 Lúc và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức:

$small A=frac{1}{x^2+2x+5}$

- Tìm x nhằm A_max; tính A_max =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn số 1 thì biểu thức (x² + 2x + 5) đạt độ quý hiếm nhỏ nhất.

- Ta có: x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 nên (x + 1)² + 4 ≥ 4

dấu "=" xảy ra khi và chỉ Lúc x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy $small Min_{(x^2+2x+5)}=4Leftrightarrow x=-1$

$small Rightarrow Max_{A}=frac{1}{4}Leftrightarrow x=-1$

Hay giao lưu và học hỏi dn1

* Cách dò xét giá trị lớn nhất, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp lốt căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến đổi số)

- Cũng tương tự động như cơ hội dò xét ở cách thức bên trên, áp dụng đặc điểm của biểu thức ko âm như:

$small sqrt{-A^{2}(x)+b}le sqrt{b}; extrm{ }(0le b)$ hoặc $small sqrt{b}lesqrt{A^{2}(x)+b}; extrm{ }(0le b)$

- Dấu "=" xẩy ra Lúc A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:

$small A = 9+sqrt{2x^2-4x+5}$

° Lời giải:

- Ta thấy: $sqrt{2x^2-4x+5}=small sqrt{(2x^2-4x+2)+3}$

$small =sqrt{2(x^2-2x+1)+3}=sqrt{2(x-1)^2+3}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² + 3 ≥ 3

nên $small Rightarrow sqrt{2(x-1)^2+3}>=sqrt{3}$ dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{min}=9+sqrt{3}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{-3x^2+6x+2}$

° Lời giải:

- Ta có: $A=\sqrt{-3x^2+6x+2}=\sqrt{(-3x^2+6x-3)+3+2}$

$small =sqrt{-3(x^2-2x+1)+5}=sqrt{-3(x-1)^2+5}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)² ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)² + 5 ≤ 5

nên $small Rightarrow sqrt{-3(x-1)^2+5}lesqrt{5}$ dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{max}=sqrt{5}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{x^2+y^2-2xy+2x-2y+7}+2y^2-8y+2020$

° Lời giải:

- Ta có: $small sqrt{(x^2+y^2-2xy)+(2x-2y)+7}+2y^2-8y+2020$

Xem thêm: nh3 ra fe(oh)3

$small =sqrt{(x-y)^2+2(x-y)+7}+(2y^2-8y+8)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)^2+2(x-y)+1]+6}+2(y^2-4y+4)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)+1]^2+6}+2(y-2)^2+2012$

small Rightarrow A>=sqrt{6}+2012 nên độ quý hiếm nhỏ nhất của B là small 2012+sqrt{6} đạt được khi:

$small left{egin{matrix} x-y+1=0\ y-2=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x= 1\ y=2 end{matrix} ight.$

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

$small dpi{100} small A=frac{1}{x-sqrt{x}+2}$

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá trị lớn nhất thì small x-sqrt{x}+2 đạt độ quý hiếm nhỏ nhất

- Ta có: $small x-sqrt{2}+2=left (sqrt{x} ight )^2-2.frac{1}{2}sqrt{x}+frac{1}{4}-frac{1}{4}+2$

$small =left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}$

Lại có: $small left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2>=0,forall x>=0$ $small Rightarrow left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}>=frac{7}{4},forall x>=0$

Dấu"=" xẩy ra khi $small sqrt{x}-frac{1}{2}=0Leftrightarrow x=frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow Min(x-\sqrt{x}+2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow MaxA=\frac{4}{7}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 Lúc x = 1/4.

* Cách dò xét giá trị lớn nhất, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp lốt độ quý hiếm tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến đổi số)

- Bài toán này cũng đa số phụ thuộc vào tính ko âm của trị vô cùng.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: small A=5-|2x-2|

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

Dấu "=" xẩy ra Lúc |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy A_max = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xẩy ra Lúc |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

Vậy A_min = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, những việc bên trên dựa vào những đổi khác về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị vô cùng,...) và hằng số nhằm dò xét rời khỏi điều giải.

Thực tế, còn nhiều việc cần dùng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) mang đến nhị số a, b ko âm: small a+b>=2sqrt{ab} (Dấu "=" xẩy ra Lúc a =b) hay vận dụng bất đẳng thức chứa chấp lốt độ quý hiếm tuyệt đối: small |a|+|b|>=|a+b| (dấu "=" xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a.b≥ 0); small |a-b|le|a|+|b| , (dấu "=" xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=frac{a}{b}+frac{b}{a}, extrm{ }forall a,b>0$

° Lời giải:

- Vì a,b>0 nên $small frac{a}{b}>0; extrm{ }frac{b}{a}>0$

- sít dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức đối chiếu thân thuộc tầm nằm trong và tầm nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

$small frac{a}{b}+frac{b}{a}>=2sqrt{frac{a}{b}.frac{b}{a}}=2$

Dấu "=" xẩy ra khi $small frac{a}{b}=frac{b}{a}Leftrightarrow a=b$

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=a+frac{1}{a-1}, extrm{ }forall a>1$

° Lời giải:

- Vì a > 1 nên a - 1 > 0 tớ có:

$small a+frac{1}{a-1}=a-1+frac{1}{a-1}+1$ (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tớ được)

$small a-1+frac{1}{a-1}+1>=2sqrt{(a-1)left ( frac{1}{a-1} ight )}+1=2+1=3$

Dấu "=" xẩy ra khi $small a-1=frac{1}{a-1}Leftrightarrow (a-1)^2=1Leftrightarrow Leftrightarrow left [egin{matrix} a=2\ a=0 end{matrix} ight.$

Đối chiếu ĐK a > 1 nên chỉ có thể nhận a = 2; loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với nội dung bài viết Cách dò xét giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở bên trên gom những em làm rõ rộng lớn về dạng toán này.

Việc áp dụng vào cụ thể từng việc yên cầu khả năng thực hiện toán của những em, khả năng này còn có được Lúc những em chịu khó rèn luyện qua không ít bài xích tập luyện. Mọi gom ý và vướng mắc những em hãy nhằm lại đánh giá bên dưới nội dung bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và tương hỗ, chúc những em học tập chất lượng tốt.

• Có thể bạn thích coi Toán 9 chuyên nghiệp đề

» Cách giải phương trình chứa chấp lốt căn và bài xích tập luyện rất rất hay

» Cách dò xét độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) vì thế BĐT Cô-si

Xem thêm: na2so3+hcl

giá trị lớn nhất

Tác giả

Bình luận

fe hno3 đặc nóng

h2so4 ra na2so4

si naoh

fe2o3 +al

c2h6+o2

ca(oh)2 ra ca(hco3)2

s+ hno3

koh + co2

cao co

ph3+o2

fecl2 ra fecl3

cucl2+naoh

giá trị lớn nhất

Tác giả

Bài viết liên quan

Bình luận