Trong toán học tập, quan hệ tương đương là mối liên hệ nhị ngôi sở hữu tính hành động tự nhiên, đối xứng và bắc cầu.
Mỗi mối liên hệ đối xứng phân hoạch tập luyện trở nên những lớp tương tự ko giao phó nhau. Hai thành phần vô và một tụ tập tương tự cùng nhau khi và chỉ khi bọn chúng nằm trong phụ thuộc 1 lớp tương tự.
Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]
| Quan hệ nhị ngôi | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dấu "✓" chỉ đặc điểm vô cột cơ cần được sở hữu vô khái niệm của mặt hàng cơ. Ví dụ, khái niệm của mối liên hệ tương tự buộc nó cần sở hữu tính đối xứng. Tất cả khái niệm đều đòi hỏi tính bắc cầu và tính hành động tự nhiên. |
Ký hiệu "" và "a ≡ b", thông thường được sử dụng khi tớ ko nói đến mối liên hệ , còn dạng "", "a ≡R b", hoặc "" khi tớ ham muốn nói đến . Khi ham muốn rằng ko tương tự tớ hoàn toàn có thể viết lách "a ≁ b" hoặc "".
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
Quan hệ nhị ngôi bên trên tập luyện được gọi là mối liên hệ tương tự khi và chỉ khi nó hành động tự nhiên, đối xứng và bắc cầu. Nghĩa là, với từng và nằm trong
cùng theo với mối liên hệ tương tự được gọi là setoid. Lớp tương tự của bên dưới được ký hiệu khái niệm vì như thế [1][2]
![{\displaystyle [a],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16e3f39e424d6841ded4f27ebe110875a026c21)
![{\displaystyle [a]=\{x\in X:x\sim a\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbefcf18140a8ef081f08e63b3e53a181e3abf00)
Định nghĩa sử dụng đại số của những quan lại hệ[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu và là 2 nhị mối liên hệ, thì mối liên hệ ăn ý trở nên được khái niệm là khi chỉ khi tồn bên trên sao cho tới và .[note 1] Định nghĩa này tổng quát lác khái niệm của quy tắc ăn ý hàm. Từ cơ, tớ sở hữu khái niệm không giống tương tự của mối liên hệ tương tự bên trên tập luyện như sau::
Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]
Ví dụ đơn giản[sửa | sửa mã nguồn]
Trên tập luyện , mối liên hệ là mối liên hệ tương tự.Các tập luyện sau là những lớp tương tự của mối liên hệ này:
![{\displaystyle [a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19987edc82d8ad8759a352ffc1485c1e2d099381)
Tập những lớp tương tự cho tới là Tập này là phân hoạch của tập luyện với .
Các ví dụ tương tự khác[sửa | sửa mã nguồn]
Các mối liên hệ sau là những mối liên hệ tương đương:
Ví dụ những mối liên hệ ko tương đương[sửa | sửa mã nguồn]
- Quan hệ "≥" vô số thực bắc cầu và hành động tự nhiên tuy nhiên ko đối xứng. Ví dụ: 7 ≥ 5 tuy nhiên ko 5 ≥ 7.
- Quan hệ "có nằm trong ước to hơn 1 với" trong số những số ngẫu nhiên to hơn 1, sở hữu tính hành động tự nhiên và đối xứng tuy nhiên ko bắc cầu. Ví dụ: 5 và 10 sở hữu ước cộng đồng to hơn 1, 10 và 4 cũng có thể có ước cộng đồng to hơn 1 tuy nhiên 5 và 4 không tồn tại ước cộng đồng to hơn 1.
- Quan hệ trống rỗng R (định nghĩa rằng aRb luôn luôn sai) bên trên tập luyện X nghiễm nhiên đối xứng và bắc cầu tuy nhiên ko hành động tự nhiên (trừ phi X rỗng).
Liên hệ với những loại mối liên hệ khác[sửa | sửa mã nguồn]
- Quan hệ trật tự thành phần là mối liên hệ hành động tự nhiên, phản xứng, và bắc cầu.
- Đẳng thức vừa vặn là mối liên hệ tương tự vừa vặn là mối liên hệ trật tự thành phần. Đẳng thức cũng chính là mối liên hệ độc nhất bên trên tập luyện tuy nhiên sở hữu tính hành động tự nhiên, phản xứng và đối xứng. Trong những biểu thức đại số, những trở nên đều bằng nhau hoàn toàn có thể thay cho lẫn nhau, còn những trở nên sở hữu mối liên hệ tương tự nhau thì ko thể thay cho lẫn nhau được. Các lớp tương tự vô mối liên hệ hoàn toàn có thể thay cho lẫn nhau, tuy nhiên những thành phần vô lớp thì ko được quy tắc.
- Quan hệ trật tự thành phần chặt ko hành động tự nhiên, bắc cầu và ko đối xứng.
- Quan hệ tương tự một trong những phần sở hữu tính bắc cầu và đối xứng. Quan hệ sở hữu tính hành động tự nhiên khi và chỉ khi nó sở hữu tính toàn phần, tức là, nếu như với từng , tồn bên trên [proof 1] Do cơ, mối liên hệ tương tự hoàn toàn có thể khái niệm là mối liên hệ đối xứng, bắc cầu và toàn phần.
- Quan hệ tương tự tam ngôi là mối liên hệ tương tự vô tía ngôi ứng với tình huống mối liên hệ nhị ngôi.
- Quan hệ hành động tự nhiên và đối xứng là mối liên hệ dựa vào (nếu hữu hạn), và là mối liên hệ dung sai nếu như vô hạn.
- Tiền trật tự sở hữu tính hành động tự nhiên và bắc cầu.
- Quan hệ tương đẳng là mối liên hệ tương tự tuy nhiên tập luyện thực hiện tập luyện nền cho tới cấu tạo đại số, thêm vô một số trong những cấu tạo. Tổng quát lác thì, mối liên hệ tương đẳng thông thường vào vai trò phân tử nhân của những đồng cấu, và thương của cấu tạo vì như thế mối liên hệ tương đẳng hoàn toàn có thể xác lập được. Trong nhiều tình huống cần thiết, mối liên hệ tương đẳng còn được xem như là những cấu tạo con cái của cấu tạo tuy nhiên bọn chúng được khái niệm bên trên (ví dụ như mối liên hệ tương đẳng bên trên những group ứng với những group con cái chuẩn chỉnh tắc).
- Các mối liên hệ tuy nhiên vừa vặn hành động tự nhiên vừa vặn là mối liên hệ Euclid (trái hoặc phải) thì cũng chính là mối liên hệ tương tự.
Xác quyết định trọn vẹn bên dưới mối liên hệ tương đương[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu là mối liên hệ tương tự bên trên và là đặc điểm của những thành phần nằm trong sao cho tới bất kể lúc nào thì đúng lúc đích, và đặc điểm được gọi là xác lập trọn vẹn hoặc bất trở nên lớp bên dưới mối liên hệ
Xem thêm: cacl2 ra ca
Một tình huống rõ ràng thông thường gặp gỡ là lúc là hàm số kể từ tập luyện lịch sự tập luyện sao cho tới nếu như suy rời khỏi thì được gọi là cấu xạ cho tới hoặc bất trở nên lớp dưới hoặc cộc gọn gàng rộng lớn là bất trở nên dưới Trường ăn ý hoàn toàn có thể xẩy ra vô lý thuyết những ký tự động của tập thể nhóm hữu hạn.
Tổng quát lác rộng lớn, một hàm hoàn toàn có thể ánh xạ những thành phần tương tự nhau (dưới mối liên hệ tương tự ) lịch sự những thành phần tương tự nhau không giống (dưới mối liên hệ tương tự ). Hàm số sở hữu đặc điểm như thế được gọi là cấu xạ kể từ lịch sự
Lớp tương tự, tập luyện thương và phân hoạch[sửa | sửa mã nguồn]
Đặt , tớ sở hữu một số trong những khái niệm sau:
Lớp tương đương[sửa | sửa mã nguồn]
Tập con cái Y of X sao cho tới luôn luôn thỏa mãn nhu cầu với từng a và b nằm trong Y, và ko lúc nào với a nằm trong Y và b ngoài Y, được gọi là lớp tương đương của X vì như thế ~. ký hiệu lớp tương tự tuy nhiên thành phần a thuộc sở hữu. Tất cả những thành phần nằm trong X tuy nhiên tương tự cùng nhau thì đều nằm trong cộng đồng một tờ tương tự.
![{\displaystyle [a]:=\{x\in X:a\sim x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6836682481861c257fea8cba9cd1c11c6323a6ff)
Tập thương[sửa | sửa mã nguồn]
Tập những lớp tương tự của X vì như thế ~, ký hiệu là là tập thương của X vì như thế ~. Nếu X là không khí tô pô, thì sở hữu cơ hội ngẫu nhiên nhằm biến hóa trở nên không khí tô pô; coi không khí thương nhằm hiểu thêm.
![{\displaystyle X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]:x\in X\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a9e144021a4605a31c751e72724b5f1726cbdb)
Phép chiếu[sửa | sửa mã nguồn]
Phép chiếu của là hàm khái niệm vì như thế ánh xạ những thành phần của lịch sự lớp tương tự ứng của bọn chúng theo dõi
![{\displaystyle \pi (x)=[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c206000cb5940ef5654e714d41a35f80d48399)
- Định lý bên trên những quy tắc chiếu:[4] Đặt hàm sao cho tới nếu như thì Khi cơ tồn bên trên duy nhất hàm sao cho tới Nếu là toàn ánh và thì là tuy vậy ánh.
Hạt nhân tương đương[sửa | sửa mã nguồn]
Hạt nhân tương đương của hàm là mối liên hệ tương tự ~ khái niệm như sau: Hạt nhân tương tự của đơn ánh là mối liên hệ đơn vị chức năng.
Phân hoạch[sửa | sửa mã nguồn]
Phân hoạch của X là tập luyện P chứa chấp những tập luyện con cái của X, sao cho tới với từng thành phần nằm trong X chỉ nằm trong đích một tập luyện nằm trong P. Do cơ, từng thành phần nằm trong P ko giao phó nhau song một và ăn ý của toàn bộ những thành phần của P là X.
Đếm số phân hoạch[sửa | sửa mã nguồn]
Gọi X là tập luyện hữu hạn chứa chấp n thành phần. Bởi từng mối liên hệ tương tự bên trên X ứng với cùng một phân hoạch bên trên X, và ngược lại số mối liên hệ tương tự bên trên X vì như thế với số phân hoạch riêng không liên quan gì đến nhau của X, và vì như thế với số Bell loại n, ký hiệu là Bn:
Xem thêm: feco3 + hno3
- (Công thức Dobinski).
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
- Hazewinkel, Michiel chỉnh sửa (2001), “Equivalence relation”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bogomolny, A., "Equivalence Relationship" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009
- Equivalence relation at PlanetMath
- Bản mẫu:OEIS el
Bình luận