phép vị tự là gì

By Admin 22/08/2023 0

Zentrische Streckung mit positivem Streckungsfaktor k=2: Die Strecken verdoppeln sich, die Fläche vervierfacht sich (→ Konstruktionsprotokoll als PDF)
Zentrische Streckung mit negativem, verkleinerndem Streckungsfaktor k=−0,7: Das Dreieck verkleinert sich um den Faktor 0,7 und wird um 180° um das Zentrum gedreht
Animation für verschiedene positive Werte von k (→ Animation mit allgemeinem k)

Eine zentrische Streckung ist in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen, in der synthetischen Geometrie nennt man sie auch Homothetien.[1]

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Bestimmung von Bildpunkten bzw. Bildmengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zeichnerisch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Strecke wird zentrisch um den Faktor und das Zentrum gestreckt, indem man

Diese Definition für Strecken überträgt sich unmittelbar auf Vielecke, die ja aus miteinander verbundenen Strecken bestehen (siehe etwa das yên ổn ersten Bild verlinkte Konstruktionsprotokoll). Sie überträgt sich auch auf beliebige geometrische Figuren, wo allerdings mitunter jeder einzelne Punkt in dieser Weise abgebildet werden müsste. Im Falle eines Kreises genügt es, den Kreismittelpunkt entsprechend abzubilden und den Radius des Bildkreises entsprechend anzupassen.

Ist der Streckfaktor negativ, so sánh muss man die Bildpunkte yên ổn Abstand des Betrags von auf der entsprechenden Hilfsgeraden zur bezogen auf gegenüberliegenden Seite einzeichnen (also auf die Halbgerade mit Endpunkt , auf der der ursprüngliche Punkt nicht liegt). Dadurch dreht sich die gestreckte Figur relativ zur ursprünglichen um 180° (siehe zweites Bild).

Ist , so sánh ergibt sich als Bild die ursprüngliche Figur, für ist das Bild eine reine Drehung um . Für würden alle Punkte auf das Zentrum abgebildet werden, weshalb es keine Ähnlichkeitsabbildung mehr wäre; deshalb wird dieser Wert yên ổn Definitionsbereich für gewöhnlich ausgeschlossen.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Konstruktion des Bildpunkts P' eines gegebenen Punkts P.. ist einfach, wenn ein weiterer Punkt Q und sein Bildpunkt Q' gegeben sind. Man erhält P', indem man die Gerade ZP mit der Parallele zu PQ durch Q' schneidet. Dabei wird vorausgesetzt, dass Z, P.. und Q nicht auf einer Gerade liegen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Xem thêm: koh + (nh4)2so4

Gegeben seien ein Punkt der Zeichenebene oder des Raumes und eine reelle Zahl . Die zentrische Streckung mit Zentrum und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) ist diejenige Abbildung der Zeichenebene beziehungsweise des Raumes in sich, bei der der Bildpunkt eines Punktes folgende Eigenschaften besitzt:

Die beiden Skizzen zeigen in Grün die Anwendung zweier zentrischer Streckungen (mit und ) auf jeweils das gleiche blaue Dreieck ABC.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ergibt sich die identische Abbildung (Identität), für eine Punktspiegelung. Der Fall ist nicht erlaubt, domain authority sonst alle Punkte denselben Bildpunkt hätten, nämlich das Zentrum.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die zentrische Streckung ist ein Beispiel für eine Dilatation. In der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie wird dieser Begriff mithilfe der Parallelität definiert.
  • Die zentrische Streckung ist der Spezialfall einer Drehstreckung mit Drehwinkel 0.
  • An Stelle des affinen 2- bzw. 3-dimensionalen Raumes über den reellen Zahlen, kann man zentrische Streckungen auch allgemeiner in jedem endlichdimensionalen affinen Raum über einem beliebigen Körper und sogar über einem beliebigen Schiefkörper definieren. Die „vektorielle“ Darstellung ist die Gleiche wie yên ổn reellen Fall, allerdings bilden die Parallelverschiebungen, die von einem Zentrum aus gestreckt werden, yên ổn Allgemeinen nur noch einen Linksvektorraum über dem Koordinatenschiefkörper.
  • Im ebenen, zweidimensionalen Fall wird noch etwas allgemeiner auch noch dann von einer zentrischen Streckung gesprochen, wenn die Parallelverschiebungen (als Koordinaten-„Vektoren“) einer affinen Translationsebene über einem Quasikörper mit einem „Skalar“ aus dem Kern des Quasikörpers gestreckt werden.

In den beiden zuletzt genannten Fällen kann man yên ổn Allgemeinen weder von Winkel- noch von Längenverhältnistreue sprechen, domain authority weder ein Winkelmaß noch ein Längenmaß existieren muss. Auch hier gehören die zentrischen Streckungen aber stets zu den Dilatationen und den Affinitäten und für Fixpunkte und Fixgeraden gilt das Gleiche wie yên ổn reellen Fall.

Xem thêm: cao+ h2o

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Strahlensatz
  • Siebeneck bei gegebenem Umkreis
  • Elfeck bei gegebener Seitenlänge

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Lambacher Schweizer 8, V Ähnlichkeit, In: Mathematik für Gymnasien, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-12-734181-2, S. 178–214
  • Streckung In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 433–435
  • Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2 S. 126–133
  • Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie. Vieweg+Teubner, 5. erweiterte Auflage, 2012, S. 208–218
  • Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. Vieweg+Teubner, 2. überarbeitete Auflage, 2009, S. 88–94

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Homethety (zentrische Streckung) auf cut-the-knot.org
  • Jürgen Roth: Geometrie. Skript, Uni Koblenz-Landau
  • Jürgen Roth: Zentrische Streckung – interaktive Illustration
  • Zentrische Streckungen auf Geogebratube

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. ↑ Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer-Verlag, Berlin und Heidelberg 2013, ISBN 3-642-77646-9, S. 208.